Topologie de l'univers
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L'Univers
est-il spatialement fermé ou ouvert? Souvent négligée par les chercheurs,
l'étude des variantes topologiques d'espace à trois dimensions est
susceptible d'apporter des réponses originales à la question de l'extension
spatiale. Dans les modèles d'univers "chiffonné", le ciel est le théâtre
d'une gigantesque illusion d'optique. par Jean-Pierre Luminet |
Le cosmos relativiste
La relativité générale bouleverse les concepts même de temps et d'espace.
L'univers n'a pas une structure d'espace euclidien immuable tissé par
un temps indépendant; c'est un espactemps déformé par la présence de matière.
Manifestation de la courbure de l'espactemps, la gravitation dicte les
trajectoires des particules matérielles et des rayons lumineux, astreints
à épouser les contours d'une géométrie quadridimensionnelle non euclidienne.
Les équations fondamentales de la relativité décrivent la façon dont le
contenu matériel de l'univers détermine la géométrie de l'espactemps.
De cette manière, la théorie permet de décrire l'univers dans son ensemble
selon des modèles cosmologiques plausibles. Parmi les solutions que permet
la théorie, certaines seulement décrivent correctement l'univers sans
entrer en contradiction avec les observations astronomiques. Einstein
construisit en 1917 le premier modèle d'univers fondé sur sa théorie de
la relativité. Sa grande trouvaille fut de proposer une approche nouvelle
de la question de l'espace fini ou infini. En effet, la géométrie non-euclidienne
permet de représenter précisément un espace à la fois fini et sans limite
: l'hypersphère. Einstein offrit donc, pour la première fois dans l'histoire
de la cosmologie, un modèle d'univers fini échappant à tout paradoxe de
"bord".
Un espace fini et sans bord
Les partisans d'un monde fini ont longtemps buté sur une difficulté fondamentale.
Il semblait indispensable d'imaginer au Monde un centre et une frontière,
mais Archytas de Tarente, pythagoricien du Ve siècle, énonca un paradoxe
visant à démontrer l'absurdité de l'idée d'un bord matériel du monde.
Son argument connut une fortune considérable dans tous les débats sur
l'espace : "Si je suis à l'extrémité du ciel, puis-je allonger la main
ou un bâton ? Il est absurde de penser que je ne le peux pas; et si je
le peux, ce qui se trouve au-delà est soit un corps, soit l'espace. Nous
pouvons donc aller au-delà de cela encore, et ainsi de suite. Et s'il
y a toujours un nouvel espace vers lequel on peut tendre le bâton, cela
implique clairement une extension sans limites". Si ce qui est au delà
du Monde fait toujours partie du Monde, le Monde ne peut logiquement être
borné sans qu'il y ait paradoxe! Il fallut attendre le développement des
géométries non euclidiennes au XIXe siècle pour résoudre la controverse.
Ces géométries permettent de concevoir des espaces finis sans avoir de
bord (tout comme, à deux dimensions, la surface d'une sphère) et considérer
sans paradoxe un univers fini. Cette conception n'est pas si naturelle
et la confusion se retrouve encore aujourd'hui dans nombre d'esprits;
lorsque, par exemple, un conférencier décrit l'expansion de l'univers,
il se voit souvent poser la question : dans quoi l'univers gonflt-il?
La réponse est que l'univers ne gonfle dans rien du tout, puisqu'il n'y
a pas d'espace en dehors de lui-même ! Mais pour le comprendre vraiment,
il faut adopter un cadre mental non euclidien.
A côté de la révolution conceptuelle issue de la relativité, les progrès
observationnels conduisirent Hubble à annoncer, en 1929, que les autres
galaxies s'éloignent systématiquement de la nôtre, avec des vitesses proportionnelles
à leur distance. Le modèle d'Einstein dut donc être abandonné car il décrivait
un univers statique, au profit de modèles d'univers dynamiques explorés
indépendamment par le russe Alexandre Friedmann et par le belge Georges
Lemaître. La question de la finitude ou de l'infinitude de l'espace est
parfaitement bien posée dans le cadre des modèles de Friedmann-Lemaître,
appelés plus communément "modèles de big bang". Ces modèles supposent
que l'univers a partout les mêmes propriétés (l'espace est dit "homogène
et isotrope"). Ces propriétés sont de deux sortes seulement : la courbure,
constante dans l'espace mais dont il reste à préciser le signe, et la
topologie. En ce qui concerne la courbure, trois familles d'espaces sont
considérées : l'espace euclidien (c'est à dire à courbure nulle, celui
dont nous connaissons bien les propriétés), l'espace sphérique (à courbure
positive) et l'espace hyperbolique (à courbure négative). L'espace sphérique
est, dans tous les cas, fini (c'est l'une des raisons pour lesquelles
Einstein, fils de Parménide, le choisit initialement). Pour les espaces
des deux autres familles, le caractère fini ou infini dépend de la topologie.
Dans les versions les plus simples toutefois, ils sont infinis. Les cosmologues
négligent le plus souvent l'aspect "topologie" pour ne considérer que
la courbure. Cette simplification est cruciale quant au problème de l'infini
spatial puisque, dans ce cas, le dilemme fini/infini se ramène à connaître
le signe de la courbure de l'espace. La relativité générale indique comment
calculer cette courbure. Sa valeur dépend de la densité moyenne de matière
qu'il contient, ainsi que d'une constante Lambda appelée constante cosmologique.
Le plus souvent, une seconde simplification est introduite, celle de supposer
cette constante nulle. Alors, le caractère fini/infini ne dépend plus
que de la densité moyenne de matière : selon qu'elle est supérieure ou
inférieure à une certaine "valeur critique" de 10-29g/cm3, la courbure
est positive ou négative, et l'espace fini ou infini. Que montrent les
observations ? Elles indiquent une densité moyenne environ dix fois inférieure
à la valeur critique. Apparemment, si l'on néglige les complications topologiques
et la constante cosmologique, l'espace serait donc infini. De fait, la
valeur observée n'est qu'une limite inférieure. Il serait vain de croire
que nous voyions toute la matière de l'univers. Différentes raisons suggèrent
qu'existent en plus de grandes quantités de masse cachée, suffisamment
peut-être pour que la densité réelle de l'univers atteigne la valeur critique.
Dans ce cas, l'univers resterait marginalement ouvert dans l'espace et
dans le temps. C'est le modèle euclidien qu'Einstein et de Sitter proposèrent
en 1931, et qui garde encore aujourd'hui les faveurs de nombreux cosmologues
sans que rien de déterminant ne le justifie (sinon ... un sentiment esthétique!)
L'Univers est-il fermé ou ouvert? Dans les modèles cosmologiques de Friedmann-Lemaître
à constante cosmologique nulle, la courbure est directement liée à la
densité : courbure positive (espace sphérique) lorsque la densité est
supérieure à la valeur critique, courbure nulle (espace euclidien) si
elle est égale à la valeur critique et courbure négative (epace hyperbolique)
si elle est inférieure. La courbure dicte donc seule l'évolution temporelle
: l'univers est temporellement fermé dans le cas sphérique, temporellement
ouvert dans les cas euclidien et hyperbolique. Le modèle euclidien d'Einstein-de
Sitter de 1931 (que certains estiment favorisé par le modèle de l'inflation)
correspond au schéma du milieu. Si on suppose en outre la topologie la
plus simple, la courbure dicte aussi le caractère fini ou infini de l'espace
: fini dans le cas sphérique, infini dans les cas euclidien et hyperbolique.
Moyennant ces deux simplifications (abusives), il y a stricte équivalence
entre finitude/infinitude temporelle et finitude/infinitude spatiale.
Dans les modèles de Lemaître à constante cosmologique non nulle, la courbure
est liée à la densité de matière et à la constante cosmologique. Il n'y
a plus de lien direct entre la courbure et la dynamique temporelle de
l'univers : celui-ci peut être sphérique mais temporellement ouvert. Si,
en outre, la topologie n'est pas simple, il n'y a plus aucune correspondance
entre finitude/infinitude temporelle et finitude/infinitude spatiale.
La noirceur de la nuit
Si le paradoxe du bord a fait obstacle à l'espace fini, le "paradoxe de
la nuit noire" a fait obstacle à l'infini cosmique. L'obscurité de la
nuit cache en effet un mystère impliquant le cosmos tout entier, son extension
et son histoire. Il s'énonce comme suit : si l'espace est infini et uniformément
rempli d'astres, en quelque direction que l'on regarde on doit finir par
trouver une étoile sur la ligne de visée. Autrement dit, le fond du ciel
devrait être une tapisserie radieuse continûment composée d'étoiles, ne
laissant aucune place au noir. Pourquoi n'en est-il pas ainsi ? La question,
posée dès le XVIIe siècle par Kepler, souleva des dizaines d'explications
et de modèles. C'est l'écrivain américain Edgar Poe qui fournit la première
réponse satisfaisante. Dans un texte prémonitoire intitulé Eurêka, Poe
expliqua que le noir de la nuit reposait sur la finitude du temps cosmique.
En effet, la lumière ne se propage qu'à vitesse finie. Or, dans un univers
temporellement fini, les étoiles n'ont pas toujours existé. Nous ne pouvons
donc recevoir leur lumière que si cellci a eu le temps de nous atteindre,
c'est à dire si les étoiles qui l'ont émise sont suffisamment proches.
Ainsi, le ciel n'est pas uniformément brillant parce que les étoiles (pas
nécessairement l'univers tout entier) n'existent que depuis un temps fini.
En comprenant comment l'obscurité nocturne était riche d'enseignement
sur la finitude temporelle du monde, Poe anticipait de plusieurs décennies
sur les modèles relativistes du big-bang. Le rayonnement du fond de ciel.
Puisque l'univers n'existe (sinon en tant qu'univers, du moins dans un
état permettant l'existence des étoiles) que depuis quelques milliards
d'années, le fond du ciel n'est guère brillant. Il émet une faible lueur,
imperceptible à nos yeux, mais que les radiotélescopes ont captée en 1965;
c'est le vestige de l'éblouissant feu primitif refroidi par quinze milliards
d'années de voyage. Que l'espace soit infini ou non, seul un volume fini
et calculable et accessible aux observations. Le rayonnement de fond de
ciel marque un horizon, un mur ultime contre lequel butera à jamais toute
observation. Car, dans sa phase primordiale, l'univers ne donne rien à
voir : ni la lumière, ni les étoiles ni aucun autre astre n'étaient encore
formés!
La topologie de l'univers
Les questions relatives à la forme globale de l'espace et, en particulier,
son extension finie ou infinie, relèvent en dernière analyse, non pas
de la relativité générale (une théorie physique locale) mais de la topologie
(théorie mathématique globale). Rien n'oblige l'espace à posséder la topologie
la plus simple (dite "simplement connexe") car la relativité générale
n'impose aucune contrainte sur les propriétés globales de l'espactemps.
De nombreuses "variantes" topologiques d'espace à trois dimensions peuvent
donc être utilisées pour construire des modèles d'univers pertinents,
c'est-à-dire compatibles à la fois avec la relativité et avec les observations.
Grâce aux topologies "multi-connexes", il devient possible de considérer
des modèles d'univers où l'espace est fini quelle que soit sa courbure,
même si la densité de matière et la constante cosmologique sont très faibles.
Historiquement, c'est W. de Sitter qui fit remarquer en 1917 à Einstein
que son modèle d'univers statique et sphérique pouvait s'accommoder d'une
topologie différente, à savoir celle de l'espace projectif. La différence
n'était pas très grande car ces deux variantes sont finies. C'est dans
l'article fondateur de Friedmann, en 1922, qu'il est fait mention pour
la première fois d'une variante topologique finie de l'espace euclidien
(normalement infini). Ceci resta ignoré d'Einstein qui, en 1931, publia
avec de Sitter un article où ils optaient pour le modèle euclidien infini.
Ce n'est qu'en 1958 que Lemaître mentionna l'existence d'espaces hyperboliques
compacts, eux aussi susceptibles d'être appliqués aux modèles de big bang.
Malgré cela, le sujet est toujours resté confidentiel et largement ignoré
de la communauté des chercheurs. Outre l'intérêt de "compactifier" des
espaces infinis, les modèles d'espace multi-connexe sont source de bien
des surprises en créant une "illusion de l'infini". Voyons pourquoi. Pour
construire des espaces multi-connexes, les mathématiques nous enseignent
que l'on peut partir de l'un des trois types d'espaces "ordinaires" (simplement
connexes). Ensuite, l'identification de certains points les uns aux autres
fait changer la forme de l'espace et le rend multi-connexe. A partir de
quoi l'on peut construire des modèles d'univers, où l'espace est fini
(bien que la courbure puisse être négative ou nulle) et de volume réellement
petit. On les appelle "mini-univers". L'exemple le plus simple est celui
où notre espace serait un hypertore ayant un rayon inférieur à dix milliards
d'années-lumière. Dans ce cas, les rayons lumineux auraient eu le temps
de faire plusieurs fois le tour de l'univers. Cela impliquerait que chaque
objet cosmique (chaque galaxie par exemple) devrait apparaître selon autant
d'images fantômes, observables dans différentes régions du ciel. L'univers
observé nous apparaîtrait donc constitué de la répétition d'un même ensemble
de galaxies. Il n'est pas facile de vérifier si nous vivons ou non dans
un mini-univers. Les images fantômes de chaque galaxie "réelle" nous apparaîtraient
dans des directions différentes, avec des éclats différents, sous des
orientations différentes, et à des époques différentes de l'évolution
de la galaxie en question. Il serait pratiquement impossible de les reconnaître
comme telles! L'univers pourrait nous paraître vaste, "déplié", rempli
de milliards de galaxies, tandis qu'il serait en réalité beaucoup plus
petit, "replié" mais ne contenant qu'un petit nombre d'objets authentiques.
Une énorme illusion d'optique cosmique! Bien sûr, les données observationnelles
actuelles permettent d'éliminer la possibilité d'un univers trop petit...
sinon nous aurions déjà reconnu, proches de nous, des images multiples
de notre propre Galaxie! Divers arguments de ce genre, appliqués à quelques
objets cosmiques (les amas de galaxies les plus proches), permettent d'exclure
un univers dont les dimensions seraient inférieures à quelques centaines
de millions d'années-lumière. Des études statistiques sur la distribution
des amas de galaxies révéleront peut-être la nature "chiffonnée" de l'espace
sur une échelle de quelques milliards d'années-lumière.
Nous voyons un ciel rempli de galaxies, mais son aspect ne permet pas
de décider si les galaxies des régions lointaines sont ou non des images
fantômes de galaxies plus proches. L'hypothèse d'un Univers multiconnexe
ne peut être écartée : l'Univers pourrait nous paraître vaste, "déplié",
tandis qu'il serait en réalité beaucoup plus petit et "replié".
B.A.-BA de topologie
La topologie est la branche de la géométrie qui classifie les espaces
en fonction de leur forme globale. Par définition, les espaces d'une même
classe peuvent se déduire les uns des autres par déformation continue,
sans découpage ni déchirure. Dans le cas des espaces à deux dimensions,
c'est à dire des surfaces, la sphère, par exemple, a la même topologie
que n'importe quelle surface fermée ovoïde. Mais le plan est de topologie
différente, puisqu'aucune déformation continue ne lui donnera la forme
d'une sphère. Pour mieux visualiser ce qu'est la topologie, partons du
plan euclidien ordinaire. C'est un feuillet infini à 2 dimensions (que
l'on imagine le plus souvent dans l'espace à 3 dimensions). Découpons
une bande de "longueur" infinie mais de largeur finie; puis identifions
(recollons) les deux bords de cette bande : on obtient un cylindre, c'est
à dire une surface de topologie différente de celle du plan initial. Prenons
une autre feuille infinie et, cette fois, découpons-la en rectangle. Identifions
deux à deux les bords parallèles. Nous obtenons une surface fermée, finie.
C'est un tore. A partir d'une simple feuille de papier nous avons donc
défini 3 surfaces de topologies différentes, appartenant à la même famille
de courbure nulle : les surfaces localement euclidiennes (ce ne sont pas
les seules). Les mathématiciens se sont attachés à la classification des
espaces à trois dimensions. Comme les surfaces, les espaces peuvent d'abord
être rangés, selon le signe de leur courbure, en type sphérique, type
euclidien ou type hyperbolique. Ensuite on dénombre les variantes topologiques
à l'intérieur de chacune de ces familles. Il existe par exemple 18 sortes
d'espaces tridimensionnels à courbure nulle, de topologies distinctes.
Le plus simple est l'espace euclidien "ordinaire", celui dont on apprend
les propriétés sur les bancs des écoles, mais d'autres sont fermés et
finis. C'est par exemple le cas de l'hypertore, qui généralise à trois
dimensions le cas du tore. Un hypertore peut être considéré comme l'intérieur
d'un cube ordinaire, dont les faces opposées deux à deux sont identifiées
: en sortant par l'une, on rentre immédiatement par celle qui est opposée.
Un tel espace est fini. D'autre part, il y a une infinité de formes d'espaces
à courbure positive, toutes finies, et une infinité d'espaces à courburenégative,
certaines fermées (finies) et les autres ouvertes (infinies). Pour les
visualiser, on les représente par l'intérieur d'un polyèdre dont certaines
faces sont identifiées deux à deux. Les cinq polyèdres réguliers, déjà
invoqués par Platon pour géométriser les "éléments" Terre, Eau, Air, Feu,
Quintessence, servent aujourd'hui à représenter certains espaces multi-connexes,
à condition de considérer que les faces sont indentifiées par paires selon
certaines transformations géométriques. Un espace hyperbolique compact.
L'intérieur d'un dodécaèdre régulier, dont les faces pentagonales sont
identifiées ("collées") par paires, est un espace fermé de courbure négative.
Vu de l'intérieur, on aurait l'impression de vivre dans un espace cellulaire,
pavé à l'infini par des dodécaèdres déformés par des illusions d'optique.
Jeux de miroirs cosmiques
Qui n'a pas été fasciné par les jeux de miroirs? Qu'il s'agisse de la
Galerie des Glaces du Château de Versailles ou des plus modestes Palais
des Glaces des attractions foraines, chacun s'émerveille de l'illusion
engendrée par les images fantômes. Les miroirs recèlent certains secrets
de l'infini. Tout le monde a constaté que tapisser de miroirs les murs
d'une pièce donne l'illusion d'une pièce plus grande. Prenons une pièce
tapissée de miroirs sur ses six parois (plancher et plafond compris).
Si vous pénétrez dans la pièce, par le jeu des multiples réflexions sur
les parois vous avez immédiatement l'impression de voir l'infini, comme
si vous étiez suspendu au sommet d'un puits sans fond, prêt à être avalé
dans une direction ou une autre au moindre mouvement. Il pourrait bien
en être ainsi de l'espace cosmique! Il se peut que la topologie de l'univers
soit multiconnexe, c'est-à-dire que l'espace ressemble à l'intérieur d'une
pièce tapissée de miroirs compliqués. Cette multiconnexité créerait dans
l'univers des chemins supplémentaires pour les rayons lumineux qui nous
parviennent des galaxies lointaines. Il en résulterait un grand nombre
d'images fantômes de ces galaxies. Les schémas sont issus de récentes
simulations numériques d'univers "chiffonnés", effectuées avec mes collaborateurs.
schéma du haut : l'espace est un hypertore, représenté par l'intérieur
d'une cube de 5 milliards d'années-lumièe de côté dont les faces opposées
sont identiques. 50 galaxies sont distribuées au hasard dans l'espace.
schéma du milieu : positions, sur un planisphère céleste, des 50 galaxies
"originales". schéma du bas : apparence du ciel tenant compte des multiples
trajets des rayons lumineux. Chaque galaxie "réelle" engendre une cinquantaine
d'images "fantômes". Il est impossible de reconnaître les images "réelles"
des images fantômes. Si l'on note la ressemblance de ce schéma avec l'apparence
du vrai ciel, on en déduit qu'il est tout à fait possible que nous vivions
dans une illusion d'optique cosmique nous donnant l'impression, non pas
de l'infini, mais de l'immense, alors que l'espace réel serait petit et
"chiffonné".
Le cosmos quantique
Il est clair que le concept de petit univers chiffonné relève de l'esthétique
parménidienne. Cellci a d'ailleurs pris le pas chez la plupart des physiciens
modernes, qui cherchent à éliminer les infinis de leurs théories. L'infinitude
spatiale n'est pas le seul infini de la cosmologie relativiste. La théorie
prédit en effet des configurations où certaines quantités géométriques
(la courbure) et physiques (densité d'énergie, température) deviennent
infinies : les singularités gravitationnelles. Les plus connues sont la
singularité initiale du big bang, et la singularité terminale cachée au
fond d'un trou noir. Les physiciens doutent qu'une théorie accouchant
de singularités puisse être correcte. Le fait est que la relativité générale
est incomplète, puisqu'elle ne tient pas compte des principes de la mécanique
quantique. Cette dernière gouverne l'évolution du monde microscopique,
en particulier le domaine des particules élémentaires. Sa caractéristique
essentielle est de donner une description "floue" des phénomènes, dans
la mesure où les événements ne peuvent être calculés qu'en termes de probabilités.
Or, le phénomène des singularités met en jeu la structure de l'espactemps
à très petite échelle. Il existe une longueur (appelée longueur de Planck,
égale à 10-33 centimètre) représentant la plus petite dimension à laquelle
l'espactemps peut encore être considéré comme lisse. En-dessous, la texture
même de l'espactemps ne serait plus continue mais, tout comme la matière
et l'énergie, formée de petits grains. Les infinis gravitationnels seraient
remplacés par des fluctuations quantiques de l'espactemps. Avec la "cosmologie
quantique", théorie à peine ébauchée et promise à de fascinants développements,
se profilent des univers multiples, simultanés, sans interaction entre
eux, ne différant les uns des autres que par leur géométrie, leur topologie,
leurs constantes fondamentales de la physique. Tous ces univers ne seraient
que l'écume de l'Univers majuscule, lui infini et éternel, sorte d'océan
bouillonnant, en transformation perpétuelle, que les physiciens appellent
le "vide quantique". On le voit, les enfants d'Héraclite n'ont pas dit
leur dernier mot... L'écume du Vide La cosmologie quantique permet d'envisager
des univers multiples, sans interaction entre eux. Notre univers observable
occuperait une "bulle" transitoire, située au sein d'une "écume" formée
par toutes les bulles nées des fluctuations spontanées du vide quantique.